Có bao nhiêu số nguyên tố $p$ sao cho $p + 4$ và $p + 8$ cũng là số nguyên tố.

Phương pháp giải:

+ Gọi số nguyên tố $p$ có dạng $p = 3a + r\,\,\left( {r = 0;1;2;\,a \in N} \right)$

+ Với từng giá trị của $r$ ta lập luận dựa vào điều kiện đề bài và định nghĩa số nguyên tố, hợp số để suy ra các giá trị cần tìm của $p.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $p = 3a + r\,\,\left( {r = 0;1;2;\,a \in N} \right)$

Với $r = 1$ ta có $p + 8 = 3a + r + 8 = \left( {3a + 9} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 9} \right) \gt 3$ nên $p + 8$ là hợp số. Do đó loại $r = 1.$

Với $r = 2$ ta có $p + 4 = 3a + r + 4 = \left( {3a + 6} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 6} \right) \gt 3$ nên $p + 4$ là hợp số. Do đó loại $r = 2.$

Do đó $r = 0;p = 3a$ là số nguyên tố nên $a = 1 \Rightarrow p = 3.$

Ta có $p + 4 = 7;p + 8 = 11$ là các số nguyên tố.

Vậy $p = 3.$

Có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài.