Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}$ có giá trị nguyên?

Phương pháp giải:

Để phân thức $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}$ có giá trị nguyên thì $\left( {{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6} \right) \vdots \left( {x + 2} \right)$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2$

$\begin{array}{l}\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 - 2}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}} = {x^2} + 4 - \frac{2}{{x + 2}}\end{array}$

Ta có ${x^2} \in \mathbb{Z}\,\,\,\forall x \in \mathbb{Z}$ nên để phân thức $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}$ có giá trị nguyên thì $\frac{2}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 2} \right) \in$ Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}$

$\begin{array}{l} + )\,x + 2 = - 2 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy có 4 giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}$ có giá trị nguyên.