Có bao nhiêu đường thẳng đi qua A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại…

Phương pháp giải:

Đường thẳng phải tìm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Lời giải chi tiết:

Chứng minh dễ dàng được: Đường thẳng phải tìm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1.$

Do đó, $b = \frac{{3a}}{{a - 4}} = 3 + \frac{{12}}{{a - 4}}$

Do a là số nguyên tố nên $a \ge 2,a - 4 \ge - 2$

Lần lượt cho $a - 4$ nhận các giá trị $\pm 2; \pm 1;3;4;6;12$ với chú ý rằng a là số nguyên tố và $b \gt 0$, ta tìm được $\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 15\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 7\end{array} \right.$

Do đó ta tìm được hai đường thẳng $\frac{x}{5} + \frac{y}{{15}} = 1$ (hay $y = - 3x + 15$) và $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1$ (hay $y = - x + 7$)