Cho $x,y,a$ và $b$ thỏa mãn các đẳng thức: $x - y = a - b\,\,\,(1)$ và ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\,\,\,(2)$ . Biểu…

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức ${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để có được đẳng thức $xy = ab$; từ đó áp dụng hằng đẳng thức: ${A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}x - y = a - b \Rightarrow {(x - y)^2} = {(a - b)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\end{array}$

Từ (2) ta có: ${x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow - 2xy = - 2ab \Leftrightarrow xy = ab$

Mặt khác:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = (x - y)({x^2} + xy + {y^2})\\{a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\end{array} \right.$.

Vì $x - y = a - b;{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}$ và $xy = ab$ nên ${x^3} - {y^3} = {a^3} - {b^3}$