Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng:

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC:

$AB + BC \gt AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:

$\begin{array}{l}BC + C{{D}} \gt B{{D}}\\C{{D}} + DA \gt CA\\DA + AB \gt DB\end{array}$

Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l}AB + BC + C{{D}} + C{{D}} + DA + DA + AB \gt AC + B{{D}} + CA + DB\\ \Leftrightarrow 2\left( {AB + BC + C{{D}} + DA} \right) \gt 2\left( {AC + B{{D}}} \right)\\ \Leftrightarrow AB + BC + C{{D}} + DA \gt AC + B{{D}}\end{array}$

Mà: $AC + B{{D}} = OA + OC + OB + O{{D}}$ (hệ thức cộng đoạn thẳng)

$\Leftrightarrow OA + OB + OC + O{{D}} \lt AB + BC + C{{D}} + DA$

Vậy ta có: $OA + OB + OC + O{{D}} \lt AB + BC + C{{D}} + DA$