Cho tứ diện đều ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Phương pháp giải:

Áp dụng các phép toán vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì có 3 vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện là $\overset{\rightarrow}{AB},^{}\overset{\rightarrow}{AC},^{}\overset{\rightarrow}{AD}.$

b) Sai. Vì M là trung điểm của cạnh BC nên $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AM}$.

c) Đúng. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm I, ta có $\overset{\rightarrow}{IB} + \overset{\rightarrow}{IC} + \overset{\rightarrow}{ID} = 3\overset{\rightarrow}{IG}$.

Do đó $\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} + \overset{\rightarrow}{IC} + \overset{\rightarrow}{ID} = \overset{\rightarrow}{IA} + 3\overset{\rightarrow}{IG}$.

Vì I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\overset{\rightarrow}{AI} = 3\overset{\rightarrow}{IG}$ nên $\overset{\rightarrow}{IA},\overset{\rightarrow}{IG}$ là hai vectơ ngược hướng và IA = 3IG. Do đó $\left. \overset{\rightarrow}{IA} = - 3\overset{\rightarrow}{IG}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{IA} + 3\overset{\rightarrow}{IG} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$.

d) Đúng. Giả sử cạnh của tứ diện đã cho bằng a.

Ta có AB = a, $DM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AM}} \right) = 30^{o}$, $\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AD}} \right) = 60^{o}$.

Khi đó $\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{DM} = \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \left( {\overset{\rightarrow}{AM} - \overset{\rightarrow}{AD}} \right) = \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AM} - \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AD}$

$= \left| \overset{\rightarrow}{AB} \right| \cdot \left| \overset{\rightarrow}{AM} \right| \cdot \cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AM}} \right) - \left| \overset{\rightarrow}{AB} \right| \cdot \left| \overset{\rightarrow}{AD} \right| \cdot \cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AD}} \right)$

$= a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 30{^\circ} - a \cdot a \cdot \cos 60{^\circ} = \dfrac{a^{2}}{4}$.

Do đó $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{DM}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{DM}}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right| \cdot \left| \overset{\rightarrow}{DM} \right|} = \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4}}{a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \gt 0$.

Suy ra $\cos\left( {AB,DM} \right) = \cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{DM}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$.