Cho $\tan x = \dfrac{5}{12}$ và $\pi \lt x \lt \dfrac{3\pi}{2}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì $\pi \lt x \lt \frac{{3\pi }}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\cos x \lt 0$.

$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = 1 + \frac{{25}}{{144}} = \frac{{169}}{{144}}$.

$\Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos x = - \frac{{12}}{{13}}$ do $\cos x \lt 0$.

b) Sai.

Gọi tòa nhà có chân là H và mặt phẳng thẳng đứng đi qua các điểm.

Vị trí quan sát A cách tòa nhà 5 m và cao 1 m so với mặt đất. Hạ đường vuông góc từ A đến trục thẳng đứng của tòa nhà tại điểm K. Khi đó AK = 5 m.

Chiều cao tòa nhà là 19 m, do đó khoảng cách từ K đến nóc tòa nhà (chân cột ăng-ten C) là: KC = 19 - 1 = 18 m.

Đỉnh cột ăng-ten là B, ta có $BC = 3 \Rightarrow KB = KC + BC = 18 + 3 = 21$ m.

Gọi $\beta = \widehat {CAK}$ và $\gamma = \widehat {BAK}$. Góc nhìn cột ăng-ten là $\alpha = \widehat {BAC} = \gamma - \beta$.

Ta có: $\tan \beta = \frac{{KC}}{{AK}} = \frac{{18}}{5}$, $\tan \gamma = \frac{{KB}}{{AK}} = \frac{{21}}{5}$

Áp dụng công thức:

$\tan \alpha = \tan (\gamma - \beta ) = \frac{{\tan \gamma - \tan \beta }}{{1 + \tan \gamma .\tan \beta }}$

$= \frac{{\frac{{21}}{5} - \frac{{18}}{5}}}{{1 + \frac{{21}}{5}.\frac{{18}}{5}}} = \frac{{15}}{{403}}$.

c) Đúng. $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1$

$= 2 \cdot \frac{{144}}{{169}} - 1 = \frac{{288}}{{169}} - 1 = \frac{{119}}{{169}}$.

d) Đúng. $\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan x \cdot \tan \frac{\pi }{4}}}$

$= \frac{{\frac{5}{{12}} - 1}}{{1 + \frac{5}{{12}} \cdot 1}} = \frac{{ - \frac{7}{{12}}}}{{\frac{{17}}{{12}}}} = - \frac{7}{{17}}$.