Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia đoạn BC thành hai đoạn thẳng $HB = 7cm,HC = 18cm.$ Điểm E thuộc đoạn…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Tam giác AHC và tam giác ABC có: $\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat C\;chung.$ Do đó, $\Delta ACH \backsim \Delta BCA$

Ta có: ${S_{DEC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\left( 1 \right)$ , $\frac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HC.AH}}{{\frac{1}{2}BC.AH}} = \frac{{HC}}{{BC}} = \frac{{18}}{{25}} \Rightarrow {S_{AHC}} = \frac{{18}}{{25}}{S_{ABC}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: ${S_{DEC}}:{S_{AHC}} = \frac{1}{2}:\frac{{18}}{{25}} = \frac{{25}}{{36}} = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2}\left( 3 \right)$

Tam giác DEC và tam giác AHC có: $\widehat {DEC} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat C\;chung$

$\Delta DEC \backsim \Delta AHC \Rightarrow \frac{{{S_{DEC}}}}{{{S_{AHC}}}} = {\left( {\frac{{EC}}{{HC}}} \right)^2}\left( 4 \right)$

Từ (3) và (4) ta có: $\frac{{EC}}{{HC}} = \frac{5}{6}$ $\Rightarrow$ $\frac{{EC}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow EC = 15cm$