Cho tam giác ABC vuông tại A, $AC = 3AB = 3a.$ Lấy các điểm D, E thuộc AC sao cho $AD = DE = EC.$ Khi đó,

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $AD = DE = EC = a$

Vẽ M đối xứng với B qua D.

Tam giác BAD vuông tại A có $AB = AD$ nên tam giác ABD vuông cân tại A. Suy ra: $\widehat {ABD} = \widehat {ADB} = {45^0}$

Chứng minh được $\Delta ABD = \Delta EMD$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {EMD} = {45^0},\widehat {MED} = \widehat {BAD} = {90^0}$ và $BD = DM = \frac{1}{2}BM,\;ME = AB = a$

Tam giác MEC có ME là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác DME cân tại M. Do đó, ME là đường phân giác. Do đó, $\widehat {DMC} = 2\widehat {DME} = {90^0}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: $BD = a\sqrt 2 \Rightarrow BM = 2a\sqrt 2$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MEC vuông tại E có: $MC = a\sqrt 2$

Ta có: $\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{{AE}}{{BM}} = \frac{{2a}}{{2a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}$

Tam giác EAB và tam giác BMC có:

$\widehat {BAE} = \widehat {BMC} = {90^0},$$\frac{{AB}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{BM}}$ nên $\Delta EAB \backsim \Delta BMC$

Do đó, $\widehat {BEA} = \widehat {MBC}$

Mà $\widehat {BEA} + \widehat {BCA} = \widehat {MBC} + \widehat {BCA} = \widehat {BDA} = {45^0}$