Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ . Một đường thẳng $d$ bất kì luôn đi qua $A$ . Kẻ $BH$ và $CK$ vuông góc với đường…

Phương pháp giải:

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau $\Delta ABH = \Delta CAK$ suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau

+ Sử dụng định lý Py-ta-go

Lời giải chi tiết:

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$ (tính chất)

Lại có $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ) và $\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$

Nên $\widehat {ABH} = \widehat {CAK}$ (cùng phụ với $\widehat {BAH}$ )

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK$ (cạnh huyền-góc nhọn) suy ra $BH = AK.$

Do đó $B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}\,\,\left( 1 \right)$

Xét tam giác $ACK$, theo định lý Pytago: $A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $B{H^2} + C{K^2} = A{C^2}.$