Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm $\left( O \right)$ , đường cao AH, đường kính AM. Gọi I là trung điểm BC.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^\circ$.

b) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau để chứng minh $\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$.

Kết hợp với tổng hai góc phụ nhau để suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {BAH}$.

c) Chứng minh OI là đường cao nên $OI \bot BC$, mà $AH \bot BC$ nên $AH//OI$.

d) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^\circ$.

Chứng minh MN // BC suy ra BCMN là hình thang. Chứng minh hai góc ở đáy $\widehat {CBN} = \widehat {BCM}$ thông qua hai cung trên cùng một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo, suy ra BCMN là hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

a) Sai

Vì $\widehat {ACM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACM} = 90^\circ$.

b) Đúng

Xét (O) có: $\widehat {ABC} = \widehat {AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Mà $\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = 90^\circ \left( {AH \bot BC} \right)$

Lại có: $\widehat {OAC} + \widehat {AMC} = 90^\circ$ (tam giác ACM có $\widehat {ACM} = 90^\circ$).

Suy ra $\widehat {BAH} + \widehat {ABC} = \widehat {OAC} + \widehat {AMC}$

nên $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}$

c) Đúng

Tam giác BOC cân tại O (OB = OC = R) có I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra $OI \bot BC$

Mà $AH \bot BC$ nên $OI//AH$.

d) Sai

Xét (O) có $\widehat {ANM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ANM} = 90^\circ$ suy ra $AN \bot NM$

Mà $BC \bot AN$ suy ra $MN//BC$. Do đó tứ giác BCMN là hình thang. (1)

Ta lại có: $\widehat {BAN} = \widehat {CAM}$ (vì $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}$)

Do đó: $\overset\frown{BN}=\overset\frown{CM}$

$\overset\frown{BN}+\overset\frown{MN}=\overset\frown{CM}+\overset\frown{MN}$

$\overset\frown{BNM}=\overset\frown{CMN}$

Do đó $\widehat {BCM} = \widehat {CBN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCMN là hình thang cân.

Đáp án: SĐĐS