Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H.$ Chọn câu đúng.

Phương pháp giải:

- Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$.

- Chứng minh $\Delta AEH = \Delta HFA\,$$\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

- Sử dụng quan hệ đường xiên – đường vuông góc để chứng minh $BF \gt BH$,$CE \gt CH$.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AEH$ ta có: $AE + EH \gt HA$.

Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$, kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$.

Vì $AE//HF$ (cách vẽ) nên $\widehat {EAH} = \widehat {FHA}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì $AF//HE$ (cách vẽ) nên $\widehat {AHE} = \widehat {HAF}$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta HFA$ có:

$AH$ cạnh chung

$\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)$

$\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)$

$\Rightarrow EH = AF;\,AE = HF$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $BH \bot AC$ và $FH//AC$ nên $BH \bot FH$.

Ta có: $BF;\,BH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $FH$ nên $BF \gt BH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Vì $CH \bot AB$ và $EH//AB$ nên $CH \bot EH$.

Ta có: $CE;\,CH$ lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ $C$ đến $EH$ nên $CE \gt CH$ (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).

Xét $\Delta AEH$ có: $AE + EH \gt HA$ (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: $AB + AC = AF + FB + AE + EC$

$\Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC$ (vì $AF = EH\,(cmt)$)

$\Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC \gt HA + HB + HC$.

Vậy $AB + AC \gt HA + HB + HC$.