Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trên tia đối của tia $MC$ lấy $D$ sao cho $MD = MC$ .…

Phương pháp giải:

(I), (II) Dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác để chứng minh các tam giác bằng nhau

(III) Để chứng minh ba điểm $A,D,E$ thẳng hàng ta chứng minh $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$

(IV) Để chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$ ta chứng minh $AD$ và $AE$ cùng bằng $BC$ do đó chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

(I) Xét $\Delta AMD$ và $\Delta BMC$ có: $DM = MC\left( {gt} \right);$ $\widehat {BMC} = \widehat {AMD}$ (hai góc đối đỉnh); $AM = BM\left( {gt} \right),$ nên $\Delta AMD = \Delta BMC$(c.g.c).

(II) Xét $\Delta ANE$ và $\Delta CNB$ có: $AN = NC\left( {gt} \right);$ $\widehat {ANE} = \widehat {CNB}$(hai góc đối đỉnh), $NB = NE\left( {gt} \right),$ do đó

$\Delta CNB = \Delta ANE$(c.g.c).

(III) Do $\Delta AMD = \Delta BMC$ nên $\widehat D = \widehat {{C_1}}$(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AD//BC.$

Do $\Delta CNB = \Delta ANE$nên $\widehat E = \widehat {{B_1}}$(hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AE//BC.$

Như vậy qua $A$ có hai đường thẳng $AD,AE$ cùng song song với $BC.$

Do đó $D,A,E$ thẳng hàng. (1)

(IV) Ta có: $AD = BC$ (do $\Delta AMD = \Delta BMC$); $AE = BC$ (do $\Delta CNB = \Delta ANE$) nên $AD = AE\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $A$ là trung điểm của $DE.$

Vậy cả (I); (II); (III); (IV) đều đúng.