Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là trung tuyến và điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $MC$ . Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $AC$…

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả của định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác$ADEF$ có:$\left\{ \begin{array}{l}DE // AF\left( {DE // AC,\,F \in AC} \right)\\EF // AD\left( {EF // AB,\,D \in AB} \right)\end{array} \right.$ nên$ADEF$ là hình bình hành.

$\Rightarrow EF = AD$ (1)

Kẻ$MG // AC\,\left( {G \in AB} \right)$ .

Xét tam giác$ABC$ có:$MG // AC$ nên theo định lí Thalès ta có$\frac{{BG}}{{AG}} = \frac{{BM}}{{CM}} = 1 \Rightarrow BG = AG$ hay$G$ là trung điểm của$AB$ .

Xét tam giác$ABC$ có$EF // AB$ nên theo định lí Thalès ta có$\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{AB}}$ hay$\frac{{CF}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (2)

Tương tự với tam giác$AGM$ và tam giác$ABC$ có$\frac{{DK}}{{AD}} = \frac{{MG}}{{AG}} = \frac{{MG}}{{BG}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow CF = DK$ .