Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = BC,$ phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $O.$ Tính $\widehat {BOC}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tia phân giác, tính chất hai góc kề bù và định lý tổng ba góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Vì $BD$ và $CE$ là tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ và $\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.$

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ có:

+ $AB = AC\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt)

+ Cạnh $BD$ chung

Suy ra $\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có $\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}$. Mà $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của tam giác) nên $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .$

Lại có $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt) nên $\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$; $\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Xét tam giác $BOC$ có $\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat {BOC} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ .$

Vậy $\widehat {BOC} = 120^\circ .$