Cho tam giác ABC có $AB = 8cm,AC = 12cm,$ đường phân giác AD. Trên đoạn AD lấy điểm E sao cho $\frac{{AE}}{{AD}} =…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Lời giải chi tiết:

Kẻ DI//BK thì DI//EK

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác AID và tam giác BKC ta được: $\frac{{AK}}{{KI}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow AK = \frac{{3KI}}{2}\left( 1 \right);\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{{CB}}{{BD}}\left( 2 \right)$

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{AB}}$ hay $\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{CD}}{3} = \frac{{DB}}{2} = \frac{{CD + DB}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} \Rightarrow \frac{{CB}}{{DB}} = \frac{5}{2}\left( 3 \right)$

Thay (3) vào (2) ta có: $\frac{{CK}}{{KI}} = \frac{5}{2} \Rightarrow CK = \frac{5}{2}KI\left( 4 \right)$

Chia theo vế các đẳng thức của (1) và (4) ta được: $\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{3KI}}{2}:\frac{{5KI}}{2} = \frac{3}{5}$