Cho tam giác ABC có $AB = 4cm,AC = 5cm,BC = 6cm$ , các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Tỉ số diện tích của các…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2}{3}DC$

Lại có: $AC = DC + AD = \frac{2}{3}DC + DC = \frac{5}{3}DC \Rightarrow \frac{5}{3}DC = 5 \Rightarrow DC = 3cm \Rightarrow AD = 2cm$

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên $\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{ACE}}}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\left( 1 \right)$

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên $\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( 2 \right)$

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

$\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{BC}}$ hay $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6}$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6} = \frac{{AE + EB}}{{5 + 6}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{4}{{11}}$

Suy ra: $AE = \frac{4}{{11}}.5 = \frac{{20}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{{11}}\left( 3 \right)$

Thay (3) vào (2) ta có: $\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{5}{{11}}\left( 4 \right)$

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: $\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{{11}} = \frac{2}{{11}}$