Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi }{2}$ . Khi đó

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

b) Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

c) $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cot \alpha }}$

d) $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\tan \alpha }}$

Lời giải chi tiết:

a) Sai. ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Vì $0 \lt \alpha \lt \frac{\pi }{2}$ nên điểm cuối của cung $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ I nên $\cos \alpha \gt 0$. Vậy $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

b) Đúng. Từ câu a) ta tính được $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Sai. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = 2\sqrt 2$.