Cho $\sin\alpha = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos \alpha$.

b) Đúng. $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}$.

c) Sai. Vì $\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi$ nên $\cos \alpha \lt 0$.

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

$\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 6 }}{6}$.

d) Đúng. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{2}{3}\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}$.