Cho $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ với $90{^\circ} \lt \alpha \lt 180{^\circ}$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác:

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$; $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$; $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng.Ta có$\sin \alpha = \frac{1}{3} \gt 0$. Mà $90^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$ nên $\cos \alpha \lt 0$.

Vậy giá trị$\sin \alpha .\cos \alpha \lt 0$.

b) Đúng.Vì $90^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ$ nên $\cos \alpha \lt 0$, mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra:

$\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Sai.Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Đúng.Ta có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = - 2\sqrt 2$.

Vậy $\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6.\frac{1}{3} + 3\sqrt 2 .\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 .\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{2}{5}$.