Cho phương trình ${x^2} - \sqrt 2 x - 2 + \sqrt 3 = 0$ . Tính $x_1^3 + x_2^3$ .

Phương pháp giải:

- Xác định số nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ bằng $\Delta$: $\Delta = {b^2} - 4ac$.

- Sử dụng định lí Viète để tìm $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

- Biến đổi $x_1^3 + x_2^3$ theo ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình ${x^2} - \sqrt 2 x - 2 + \sqrt 3 = 0$ có $a = 1$, $b = - \,\sqrt 2$, $c = - 2 + \sqrt 3$.

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac$$= {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) = 10 - 4\sqrt 3 \gt 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1}\;$,${\rm{ }}{x_2}$.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - \sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 - 2\end{array} \right.$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x_1}^3 + {x_2}^3 = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = \sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^2} - 3\left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right]\\ = \sqrt 2 \left( {2 - 3\sqrt 3 + 6} \right)\\ = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)\end{array}$

Vậy $x_1^3 + x_2^3 = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)$.

Đáp án C