Cho phương trình lượng giác $\sin 2x = - \frac{1}{2}$ (*).

Phương pháp giải:

Nếu $\sin \alpha = m$ thì $\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$.

b) Sai. (*) $\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right.}\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

* Xét họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi$:

Vì $0 \lt x \lt \pi$ nên $0 \lt - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \lt \pi$. Mà k nguyên nên chỉ có k = 1 thỏa mãn.

Khi đó $x = - \frac{\pi }{{12}} + \pi = \frac{{11\pi }}{{12}}$.

* Xét họ nghiệm $x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi$:

Vì $0 \lt x \lt \pi$ nên $0 \lt \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \lt \pi$. Mà k nguyên nên chỉ có k = 0 thỏa mãn.

Khi đó $x = \frac{{7\pi }}{{12}} + 0 = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy trong khoảng $(0;\pi )$ phương trình (*) có 2 nghiệm là $x = \frac{{11\pi }}{{12}}$ và $x = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

c) Đúng. Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng $(0;\pi )$ là: $S = \frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}$.

d) Sai. Vì $\frac{{11\pi }}{{12}} \gt \frac{{7\pi }}{2}$ nên nghiệm lớn nhất của (*) trong khoảng $(0;\pi )$ là $\frac{{11\pi }}{{12}}$.