Cho phương trình lượng giác $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0$ . Khi đó

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác $\sin x = a$:

- Nếu $\left| a \right| \gt 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì chọn cung $\alpha$ sao cho $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình trở thành:

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}} \right.$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải chi tiết:

$2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.$

a) Sai. $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

b) Sai. Phương trình có nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi$; $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

c) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi$:

Nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{\pi }{4}$ khi k = 0.

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$:

Nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{{7\pi }}{{12}}$ khi k = -1.

Vì $- \frac{\pi }{4} \gt - \frac{{7\pi }}{{12}}$ nên nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{\pi }{4}$.

d) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi$:

$- \pi \lt x \lt \pi \Leftrightarrow - \pi \lt - \frac{\pi }{4} + k2\pi \lt \pi$

$\Leftrightarrow - 1 \lt - \frac{1}{4} + 2k \lt 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \lt 2k \lt \frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow - \frac{3}{8} \lt k \lt \frac{5}{8}$.

Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó $x = - \frac{\pi }{4}$.

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi$:

$- \pi \lt x \lt \pi \Leftrightarrow - \pi \lt \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \lt \pi$

$\Leftrightarrow - 1 \lt \frac{{17}}{{12}} + 2k \lt 1 \Leftrightarrow - \frac{{29}}{{12}} \lt 2k \lt - \frac{5}{{12}}$

$\Leftrightarrow - \frac{{29}}{{24}} \lt k \lt - \frac{5}{{24}}$.

Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó $x = - \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $( - \pi ;\pi )$ là $x = - \frac{\pi }{4}$ và $x = - \frac{{7\pi }}{{12}}$.