Cho phương trình $\cos\left( {4x - \dfrac{3\pi}{8}} \right) = - 1$ . Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\cos \left( {4x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 4x - \frac{{3\pi }}{8} = \pi + k2\pi$

$\Leftrightarrow 4x = \frac{{11\pi }}{8} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{11\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Khi k = 0, ta được nghiệm $x = \frac{{11\pi }}{{32}}$.

b) Đúng. Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lượng giác.

c) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất (k = 0): ${x_1} = \frac{{11\pi }}{{32}}$.

Nghiệm âm lớn nhất (k = -1): ${x_2} = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{5\pi }}{{32}}$.

Tổng hai nghiệm: ${x_1} + {x_2} = \frac{{11\pi }}{{32}} - \frac{{5\pi }}{{32}} = \frac{{6\pi }}{{32}} = \frac{{3\pi }}{{16}}$.

d) Sai. Xét $x \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{19\pi }}{2}} \right)$:

$\frac{\pi }{4} \lt \frac{{11\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{2} \lt \frac{{19\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{{16}} \lt k \lt \frac{{293}}{{16}}$

$\Leftrightarrow - 0,1875 \lt k \lt 18,3125$.

Vì $k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,18} \right\}$. Vậy có 19 nghiệm thuộc $\left( {\frac{\pi }{4}\,;\;\frac{{19\pi }}{2}} \right)$.