Cho phương trình ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

b) Sử dụng công thức $\cos (x + \pi ) = - \cos x$.

c) Sử dụng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$, ${\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}$.

d) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - {\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

b) Đúng. $\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x$.

c) Đúng. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + 1}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow - \cos 2x = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$.

d) Sai. Ta có: ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.