Cho ${\int\limits_{- 3}^{0}{f(x)\text{d}x}} = - 2024$ và ${\int\limits_{- 3}^{0}{g(x)\text{d}x}} = - 2025$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\int_0^{ - 3} f (x){\rm{d}}x = - \int_{ - 3}^0 f (x){\rm{d}}x = - ( - 2024) = 2024$.

b) Sai. $\int_{ - 3}^0 {( - 3)} g(x){\rm{d}}x = - 3 \cdot \int_{ - 3}^0 g (x){\rm{d}}x = - 3 \cdot ( - 2025) = 6075$.

c) Đúng.

$\int \nolimits_{ - 3}^0 \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x$

$= \int \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x - \int \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x + \int \nolimits_{ - 3}^0 1{\rm{d}}x$

$= - 2024 - \left( { - 2025} \right) + 3 = 4$.

d) Sai. $\int \nolimits_{ - 3}^0 \left[ {mf\left( x \right) - ng\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 2026$

$\Leftrightarrow m\int \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x - n\int \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x = 2026$

$\Leftrightarrow - 2024m - \left( { - 2025} \right)n = 2026$

$\Leftrightarrow - 2024m + 2025n = 2026$ (1)

$\int \nolimits_{ - 3}^0 \left[ { - nf\left( x \right) + mg\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 2023$

$\Leftrightarrow - n\int \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x + m\int \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x = 2023$

$\Leftrightarrow - n\left( { - 2024} \right) + m\left( { - 2025} \right) = 2023$

$\Leftrightarrow - 2025m + 2024n = 2023$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + n = 3.