Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ , có cạnh bằng $2$ . Biết $M$ là trung điểm của $AB$ . Khi đó:

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm và công thức tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $- 2\overrightarrow {DM} = - \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD}$.

b) Sai. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{{AB.BD}} = - \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} }}{{AB.BD}} = - \frac{{BA.BD\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right)}}{{AB.BD}}$

$= - \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) = - \cos \widehat {ABD} = - \cos {45^o} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^o}$.

c) Đúng. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}$ (theo quy tắc ba điểm).

d) Đúng. $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC} = AD.BD\cos {45^o} + OM.AC\cos {135^o}$

$= 2.2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1.2\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 2$.