Cho hình thoi ABCD cạnh a, có $\hat A = {60^0}$ . Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương…

Phương pháp giải:

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết:

Do BC//AN (Vì $N \in AD$ ) nên ta có: $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{NC}}$ (1)

Do CD//AM (Vì $M \in AB$ ) nên ta có: $\frac{{MC}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DN}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}$

$\Delta ABD$ có AB = AD (định nghĩa hình thoi) và $\hat A = {60^0}$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều

suy ra $AB = BD = DA$

Từ $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DN}}(cmt)$ suy ra $\frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}}$

Mặt khác $\widehat {MBD} = \widehat {BDN} = {120^0}$ (hai góc kề bù với góc $\widehat {ABD} = \widehat {ADB} = {60^0}$

Xét $\Delta MBD$ và $\Delta BDN$ có: $\frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DN}},\widehat {MBD} = \widehat {BDN}$

suy ra $\Delta MBD \backsim \Delta BDN(c - g - c)$ do đó $\widehat {BMD} = \widehat {DBN}$

Xét $\Delta MBD$ và $\Delta KBD$ có: $\widehat {MBD} = \widehat {DBN},\widehat {BDM}$ chung

suy ra $\widehat {BKD} = \widehat {MDB} = {120^0}$

Vậy $\widehat {BKD} = {120^0}$