Cho hình thang $ABCD\,\left( {AB // CD} \right)$ . Một đường thẳng song song với $AB$ cắt các cạnh bên $AD,\,BC$ theo…

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

$\left. \begin{array}{l}AB // CD\\EF // CD\end{array} \right\} \Rightarrow AB // EF$

Gọi$G$ là giao điểm của$EF$ và$AC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EG // CD\\GF // AB\end{array} \right.$

Xét tam giác$ACD$ có$EG // CD$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CG}}{{AC}}$ (1)

Xét tam giác$ABC$ có$FG // AB$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{CG}}{{AC}} = \frac{{CF}}{{BC}}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CF}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{BC}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF + BF}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1$