Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng $2\sqrt{3}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Độ dài đường chéo hình lập phương là $2\sqrt 3 .\sqrt 3 = 6$.

b) Đúng. Xét trong mặt phẳng BB’D’D, gọi giao điểm của DB’ và D’O là I.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}I \in B'D\\I \in D'O \subset (D'AC)\end{array} \right. \Rightarrow I$ là giao điểm của đường thẳng DB’ và mặt phẳng (D’AC).

c) Đúng. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot (ABCD) \Rightarrow BB' \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right.$

$\Rightarrow AC \bot (BB'D'D) \Rightarrow (D'AC) \bot (BB'D'D)$.

d) Sai. Gọi O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’. Dễ thấy BOD’O’ là hình bình hành, suy ra BO’ // OD’.

Mặt khác, A’C’ // AC. Từ đó chứng minh được (D’AC) // (BC’A’).

$d\left( {(D'AC),(BC'A')} \right) = d\left( {BO',OD'} \right) = \frac{{{S_{BO'D'O}}}}{{OD'}} = \frac{{O'D'.OO'}}{{OD'}}$

$= \frac{{\sqrt 6 .2\sqrt 3 }}{{\sqrt {6 + 12} }} = 2$.