Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh 3a, $\widehat {ABC} = {60^o}$ , AA’ = 2a. Đỉnh A’ cách đều ba…

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pythagore, các công thức tính diện tích, thể tích.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có G, A’ cùng cách đều ba đỉnh A, B, C nên A’G là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $A'G \bot (ABC)$.

b) Sai. Vì AB = BC = 3a và $\widehat {ABC} = {60^o}$ nên tam giác ABC đều.

Khi đó $AG = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Xét tam giác AA’G vuông tại G có ${A^\prime }G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(a\sqrt 3 )}^2}} = a$.

c) Đúng. Diện tích hình thoi $ABCD$ bằng $3a.3a.\sin {60^o} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

d) Sai. ${V_{B'.BCD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.d\left( {B',(BCD)} \right) = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}}.d\left( {A',(BCD)} \right)$

$= \frac{1}{6}{S_{ABCD}}.A'G = \frac{1}{6}.\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$.