Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng…

Phương pháp giải:

a) Tính AH bằng định lí Pythagore.

b) Áp dụng công thức V = Bh.

c, d) Đưa về tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng/mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có: $AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{a\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow A'H = \sqrt{A{A'}^{2} - AH^{2}} = \dfrac{4a}{3}$.

b) Sai. $AB = AC = a\Rightarrow S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}AB^{2} = \dfrac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{2a^{3}}{3}$.

c) Đúng. Do $BB'//\left( {ACC'A'} \right)$ nên:

$d\left( {BB', AC} \right) = d\left( {BB',\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)$.

Ta có $\dfrac{d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}{d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)} = \dfrac{BN}{HN} = 3$.

Suy ra $d\left( {BB', AC} \right) = 3.d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)$.

d) Sai. Kẻ $HK\bot AC$ và $HI\bot A'K$.

Khi đó $HI\bot\left( {ACC'A'} \right)\Rightarrow d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HI$.

Ta có $HK//AB\Rightarrow\dfrac{HK}{AB} = \dfrac{NH}{NB} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{a}{3}$.

$d\left( {BB', AC} \right) = 3.d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)$

$= 3.HI = 3.\dfrac{A'H.HK}{\sqrt{A'H^{2} + HK^{2}}} = \dfrac{4a}{\sqrt{17}}$.