Cho hình chữ nhật ABCD có $AB = \frac{3}{4}BC.$ Hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD theo tỉ số đồng dạng 2. Biết rằng $A'C' = 10cm.$ Khi đó, diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ bằng:

Cho hình chữ nhật ABCD có $AB = \frac{3}{4}BC.$ Hình chữ nhật…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H₁ đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H

Lời giải chi tiết:

Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2$

Mà $AB = \frac{3}{4}BC \Rightarrow A'B' = \frac{3}{4}B'C'.$

Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên $\widehat {A'B'C'} = {90^0}$

Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: $A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}$ (1)

Thay $A'B' = \frac{3}{4}B'C'$ vào (1) ta có:

${\left( {\frac{3}{4}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {10^2}$

$\frac{{25}}{{16}}B'C{'^2} = 100$

$B'C{'^2} = 64$ nên $B'C' = 8cm$

Do đó, $A'B' = 8.\frac{3}{4} = 6\left( {cm} \right)$

Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: $A'B'.B'C' = 6.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)$