Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Đáy $ABCD$ có tâm là $O$ . Các mệnh đề sau…

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất trung điểm và tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông.

Suy ra tâm $O$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$.

Do đó, $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

b) Đúng. Với điểm $S$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.$.

Suy ra $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$.

c) Sai. Tứ giác $ABCD$ là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là $a$ nên độ dài đường chéo $AC$ là $a\sqrt 2$. Tam giác $SAC$ có $SA = SC = a$ và $AC = a\sqrt 2$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$, suy ra $\widehat {SAC} = 45^\circ$. Do đó, $\left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {SAC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

d) Đúng. $\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos 135^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - {a^2}$.