Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai…

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý cosin, phương pháp tọa độ hóa.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Gọi I hình chiếu của M lên (ABCD), suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó $CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$.

b) Đúng. Áp dụng định lý cosin ta có:

$NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos 45^\circ } = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{3a\sqrt 2 }}{4} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}$.

Do $\Delta MIN$ vuông tại I nên $MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}$.

Mà MI // SO, $MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}$.

c) Sai. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Khi đó ta có tọa độ các điểm: $O(0;0;0),B\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right),C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right)$, $N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};0} \right),A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right),M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4};0;\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)$, $I\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4};0;0} \right)$.

Suy ra${\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 7 }}{4}; - \frac{{\sqrt 7 }}{2};\frac{1}{4}} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};0;0} \right)$

Khoảng cách giữa $IN$ và $SC$ bằng $d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {IC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{8}$.

d) Sai. $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt {14} }}{2}} \right)$.

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $\left( {SBD} \right):\vec n = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - \sqrt 7 ;0;0} \right)$.

Suy ra $\sin \left( {MN,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{|\overrightarrow {MN} .\vec n|}}{{|\overrightarrow {MN} |.|\vec n|}} = \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( { - \sqrt 7 } \right)} \right|}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2} \cdot \sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.