Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 2$ . Gọi…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB$.

b) Đúng. Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $BD \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BD$.

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)$.

c) Sai. Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AM:

$SM.SB = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + {a^2}}} = \frac{2}{3}$.

Tương tự, xét tam giác SAD vuông tại A, đường cao AN:

$\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác SBD: $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow$ MN // BD.

Như vậy MN và BD không chéo nhau.

d) Sai. Xét trong (SBD), gọi I là giao điểm của SO và MN.

Xét trong (SAC), gọi K là giao điểm của AI và SC. Khi đó K là giao điểm của SC và (AMN).

Ta có $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK$. Mà $MN\parallel BD \Rightarrow MN \bot AK$.

Suy ra ${S_{AMKN}} = \frac{1}{2}.AK.MN$.

Ta có: $MN = \frac{2}{3}BD = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có MI // BO nên $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}$. Mà SO là đường trung tuyến của tam giác SAC nên I là trọng tâm tam giác SAC. Khi đó, AK là đường trung tuyến của tam giác SAC và K là trung điểm của SC.

Có $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a$.

$SA = AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A, mà AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AK = \frac{{SC}}{2} = a$.

Vậy ${S_{AMKN}} = \frac{1}{2}.AK.MN = \frac{1}{2}.a.\frac{{2a\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}$.