Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ , đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC = a\sqrt 5$ và $AD = a\sqrt…

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$. Do đó SA là đường cao của hình chóp S.ABC.

b) Đúng. Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, kẻ $AH \bot SB$, $H \in SB$ (1)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right),AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow$$AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

c) Sai. Ta có $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = a\sqrt 3$.

Xét trong tam giác vuông $SAB$ có $AH$ là đường cao, ta có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Leftrightarrow SA = a$.

Do đó: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.

d) Sai. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}MN{\rm{//}}BC\\MN \not\subset \left( {SBC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)$.

Do đó $d\left( {MN;SB} \right) = d\left( {MN;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.