Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2a$ . Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của…

Phương pháp giải:

Áp dụng các định lí về quan hệ song song của đường thẳng, mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:

$\left\{ \begin{array}{l}MN//AB \Rightarrow MN//(ABCD)\\NP//BC \Rightarrow NP//(ABCD)\\MN \cap NP = \{ N\} \end{array} \right. \Rightarrow (MNP)//(ABCD)$.

a) Sai. Ta có $Q \in (MNP) \Rightarrow (MNPQ)//(ABCD)$.

Xét mặt phẳng (SBD): $\left\{ \begin{array}{l}(MNPQ)//(ABCD)\\NQ \subset (MNPQ)\\BD \subset (ABCD)\\NQ,BD \subset (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow NQ//BD$.

Theo định lí Thales trong tam giác SBD, ta có:

$\frac{{NQ}}{{BD}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow NQ = \frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2$.

b) Đúng. Có $\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\AB//CD\end{array} \right. \Rightarrow MN//CD \Rightarrow MN//(SCD)$ (1)

NO là đường trung bình của tam giác SBD nên $NO//SD \Rightarrow NO//(SCD)$ (2)

Mà $MN \cap NO = \{ N\}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $(MNO)//(SCD)$.

c) Đúng. Đã chứng minh ở trên.

d) Đúng. Dễ dàng chứng minh MNPQ là hình vuông.

${S_{MNPQ}} = MN.NP = \frac{{AB}}{2}.\frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2}.\frac{{2a}}{2} = {a^2}$.