Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$…

Phương pháp giải:

Dựa vào lý thuyết quan hệ vuông góc trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $SA\bot(ABCD)$ và $BD \subset (ABCD)$ nên $SA\bot BD$.

b) Đúng. $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot AC$, $SA\bot BD$, do đó: $\left( {SAC} \right)\bot\left( {SBD} \right)$.

c) Sai. Xét tam giác SAB vuông tại $A$ có $SA = a\sqrt{3}$, $AB = a$ nên áp dụng định lý Pythagore:

$\left. SB^{2} = SA^{2} + AB^{2} = 3a^{2} + a^{2} = 4a^{2}\Rightarrow SB = 2a \right.$.

Do đó, $\left. \sin\theta = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\theta = 60^{{^\circ}} \right.$

d) Sai. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường cao SA và hình chiếu của đường SD lên đáy.

Dựng tam giác vuông SAH với H là hình chiếu vuông góc từ A xuống BD.

⇒ $\tan\varphi = \dfrac{SA}{AH}$.

Gọi $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$ ⇒ Phương trình đường chéo BD: $x + y = a$.

⇒ Hình chiếu $H$ của $A$ lên BD là $\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}} \right)$.

⇒ $AH = \sqrt{\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Khi đó, ta có: $\tan\varphi = \dfrac{SA}{AH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$.