Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, $\widehat{BAD} = 120^o$ , AB = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng…

Phương pháp giải:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu là d(M, a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

Công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}Bh$.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. ABCD là hình thoi có góc A bằng ${120^o}$, suy ra tam giác ABC đều.

Khi đó, AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.

Kẻ $AH \bot SM$ tại H.

$\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \cap (SAD) = SA\\(SAB) \bot (ABCD)\\(SAD) \bot (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot (ABCD)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AH$.

Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = AH$.

ABCD là hình thoi nên AD // BC hay AD // (SBC).

Do đó $d\left( {D,(SBC)} \right) = d\left( {A,(SBC)} \right) = AH$.

$AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$SA = AM\tan \widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}$.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{3a}}{4}$.

b) Sai. ${S_{ABCD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

c) Đúng. $\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \cap (SAD) = SA\\(SAB) \bot (ABCD)\\(SAD) \bot (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot (ABCD)$.

d) Sai. $SA = AM\tan \widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}$.