Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a, AD = 2a, SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M. N lần…

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm vecto cùng phương, cùng hướng, cách tính độ dài vecto, tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD.

Khi đó $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {CD}$ là hai vecto cùng phương, ngược hướng.

b) Sai. Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5$.

Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Xét tam giác SAC vuông tại A:

$\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}$ suy ra $\widehat {SCA} \approx {41^o}48'$.

Ta có $\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx {41^o}48'$.

c) Đúng. Vì SA vuông góc với đáy (ABCD) nên SA vuông góc với AB. Xét tam giác SAB vuông tại A:

$SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5$.

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên $AM = SM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Sử dụng định lý cosin cho tam giác MAB:

$\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.MB}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Ta có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

d) Sai. Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD.

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.