Cho hình chóp S.ABCD, biết AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F trong mặt phẳng đáy. Xét tính đúng sai của các khẳng định…

Phương pháp giải:

Để tìm giao tuyến của (P) và (Q), tìm hai điểm A, B sao cho chúng thuộc cả hai mặt phẳng (P), (Q).

Khi đó đường thẳng AB là giao tuyến của (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Ta có: $E = AB \cap CD \Rightarrow E \in AB,AB \subset (ABCD) \Rightarrow E \in (ABCD)$.

Tương tự: $F = AC \cap BD \Rightarrow F \in AC,AC \subset (ABCD) \Rightarrow F \in (ABCD)$. Vậy $EF \subset (ABCD)$.

Dễ thấy A là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$, $B$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Suy ra $AB = (SAB) \cap (ABCD)$.

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{E \in AB,AB \subset (SAB)}\\{E \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array}} \right.$$\Rightarrow E \in (SAB) \cap (SCD)$.

Vậy $SE = (SAB) \cap (SCD)$.

Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{F \in AC,AC \subset (SAC)}\\{F \in BD,BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.$$\Rightarrow F \in (SAC) \cap (SBD)$.

Vậy $SF = (SAC) \cap (SBD)$.

Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $G = EF \cap AD$.

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{G \in EF,EF \subset (SEF)}\\{G \in AD,AD \subset (SAD)}\end{array}} \right.$$\Rightarrow G \in (SEF) \cap (SAD)$.

Vậy $SG = (SEF) \cap (SAD)$.

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.