Cho hình chóp S.ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của $\Delta SAB$ và…

Phương pháp giải:

a) Kiểm tra mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

c) Kiểm tra mối quan hệ song song giữa hai đường thẳng bằng định lý Ta-lét đảo hoặc tính chất đường trung bình.

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Trong $\Delta ABC$, IJ là đường trung bình nên IJ // AC.

Mà $IJ \subset (SIJ)$. Do đó AC // (SIJ).

b) Sai. I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC. IJ là đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng (ABC). SB là đoạn thẳng nối S với B.

Hai đường thẳng IJ và SB không đồng phẳng. Do đó, IJ và SB không cắt nhau.

c) Đúng. H là trọng tâm của $\Delta SAB$, K là trọng tâm của $\Delta SBC$.

Trên SI, H là trọng tâm nên $\frac{SH}{SI} = \frac{2}{3}$.

Trên SJ, K là trọng tâm nên $\frac{SK}{SJ} = \frac{2}{3}$.

Trong $\Delta SJJ$, ta có $\frac{SH}{SI} = \frac{SK}{SJ} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Ta-lét đảo, HK // IJ.

d) Đúng. Ta có B là điểm chung của (BHK) và (ABC).

Trong (ABC), có IJ // AC, trong (BHK), có HK // IJ (theo câu c).

Vậy HK // AC.

Giao tuyến của (BHK) và (ABC) là đường thẳng đi qua B và song song với AC.

Để chứng minh điều này, ta xét mặt phẳng (BIJ) (hay (ABC)).

Ta có B là một điểm chung của hai mặt phẳng (BHK) và (ABC).

Mặt khác, HK // IJ. Mà $IJ \subset (ABC)$.

Từ HK // IJ và $IJ \subset (ABC)$, suy ra HK // (ABC).

Vì $HK \subset (BHK)$ và HK // (ABC), nên giao tuyến của (BHK) và (ABC) song song với HK.

Do đó, giao tuyến của (BHK) và (ABC) là đường thẳng d đi qua B và song song với HK.

Vì HK // IJ và IJ // AC, suy ra HK // AC.

Vậy d // AC.