Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy và tam giác đều SAB cạnh 2a. Biết tam giác ABC vuông tại C…

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, định lý Pythagore, công thức tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. H là trung điểm AB, mà tam giác SAB đều nên SH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, hay $SH \bot AB$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \bot (ABC)\\(SAB) \cap (ABC) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset (SAB)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot (ABC)$.

b) Đúng. Tam giác SAB đều cạnh 2a có độ dài đường cao là $SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC)\\H \in (ABC)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {S,(ABC)} \right) = SH = a\sqrt 3$.

c) Sai. Kẻ đường cao CK của tam giác ABC.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SH \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot CK\\AB \bot CK\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d\left( {C,(SAB)} \right) = CK$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại C:

$BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a$.

Xét tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK:

$AB.CK = CA.CB \Leftrightarrow CK = \frac{{CA.CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $d\left( {C,(SAB)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

d) Sai. Diện tích đáy hình chóp là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Thể tích khối chóp là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}$.