Cho hình bình hành ABCD $\left( {AC \gt AB} \right)$ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là hình chiếu của C trên AD…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vuông: Nếu tam vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết:

Tam giác AHB và tam giác AEC có: $\widehat {{A_1}}chung,\widehat {AHB} = \widehat E = {90^0}$

Do đó, $\Delta AHB \backsim \Delta AEC \Rightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB.AE = AC.AH$

Vì BC// AD (do ABCD là hình bình hành) nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_2}}$ , mà $\widehat {BHC} = \widehat K = {90^0}$

Do đó, $\Delta AKC \backsim \Delta CHB \Rightarrow \frac{{AK}}{{CH}} = \frac{{AC}}{{CB}} \Rightarrow AK.CB = AC.CH$

Vì ABCD là hình bình hành nên $BC = AD$

Do đó, $AD.AK = AC.CH\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$AB.AE + AD.AK = AC\left( {AH + CH} \right) = A{C^2}$