Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Các đường BE, DF cắt AC tại P, Q . Tứ giác EPFQ là…

Phương pháp giải:

Chứng minh EPFQ là hình thoi từ đó suy ra số đo $\widehat {ACD}$

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD và AD //CB, AD = BC

Xét tứ giác EDFB có ED // FB, $ED = FB\left( { = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC} \right)$.

Nên EDFB là hình bình hành.

Suy ra: BE = DF, BE // DF.

Xét $\Delta ABD$có P là giao điểm hai đường trung tuyến BE, AO nên P là trọng tâm

$\Delta ABD \Rightarrow EP = \frac{1}{3}BE$.

Xét $\Delta CBD$có Q là giao điểm hai đường trung tuyến DF, CO nên Q là trọng tâm

$\Delta CBD \Rightarrow QF = \frac{1}{3}DF$.

Mà BE = DF (cmt) $\Rightarrow$EP = QF.

Xét tứ giác EPFQ có $\Rightarrow$EP = QF, EP // QF $\Rightarrow$EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì ${\rm{EF}} \bot PQ$.

Mà EF // CD (do hình bình hành ABCD có AB //CD, E là trung điểm AD, F là trung điểm BC ).

Nên $CD \bot PQ$ hay $CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}$.