Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ .

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và nhận xét.

$f'(x) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên:

a) Đúng. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

b) Đúng. Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty$.

c) Sai. Giả sử A(0;4), B(2;0). Ta có $AB = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 2\sqrt 5$.

d) Sai. Ta có $y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}} = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 4}} = \frac{{x + 1}}{{(x + 1){{(x - 2)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}$ có một đường tiệm cận đứng là x = 2.