Cho hàm số $y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}$ có đồ thị là (C).

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f(x) = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - ( - x - 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}} - ( - x - 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{14}}{{x - 3}}} \right) = 0$.

Vậy đồ thị f(x) có tiệm cận xiên là y = –x – 6.

b) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận xiên y = –x – 6.

Tâm đối xứng của đồ thị là giao của hai đường thẳng x = 3 và y = –x – 6.

Với x = 3 ta có y = –3 – 6 = –9.

Vậy tâm đối xứng là I(3;-9).

c) Đúng. Tập xác định: D = R\{3}.

Ta có $f'(x) = \left( {\frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}}} \right)' = \frac{{( - 2x - 3)(x - 3) - ( - {x^2} - 3x + 4)}}{{{{(x - 3)}^2}}}$

$= \frac{{ - 2{x^2} + 3x + 9 + {x^2} + 3x - 4}}{{{{(x - 3)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 6x + 5}}{{{{(x - 3)}^2}}}$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt {14}$.

Bảng biến thiên:

Hai cực trị là $x = 3 - \sqrt {14}$ và $x = 3 + \sqrt {14}$ trái dấu nên chúng nằm ở hai phía đối với Oy.

d) Sai. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tung độ y = 0 suy ra hoành độ các giao điểm đó là nghiệm của phương trình $- {x^2} - 3x + 4 = 0$. Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4 nên đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm.