Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = 3x^3 - 3x^2, \forall x \in \mathbb{R}$ . Xét…

Để khảo sát tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm $f'(x) = 3x^3 - 3x^2 = 3x^2(x - 1)$. Đạo hàm bằng 0 tại $x = 0$ và $x = 1$. Với $x > 1$, ta có $x - 1 > 0$ và $x^2 > 0$, nên $f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$, khẳng định A đúng. Xét điểm cực trị, ta cần tìm các điểm mà $f'(x) = 0$ và đổi dấu. Ta có hai điểm $x=0$ và $x=1$. Kiểm tra dấu của $f'(x)$ quanh các điểm này: với $x < 0$, $f'(x) = 3x^2(x-1)$, $x^2 > 0$, $x-1 < 0$, nên $f'(x) < 0$; giữa 0 và 1, $x^2 > 0$, $x-1 < 0$, nên $f'(x) < 0$; với $x > 1$, $f'(x) > 0$. Do đó, tại $x=0$, $f'(x)$ không đổi dấu (vẫn âm), không có cực trị; tại $x=1$, $f'(x)$ đổi từ âm sang dương, có điểm cực tiểu. Vậy hàm số chỉ có một điểm cực trị, nên khẳng định B sai. Xét giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;3]$. Vì hàm số có điểm cực tiểu tại $x=1$ trong đoạn này, ta so sánh giá trị $f(0)$, $f(1)$ và $f(3)$. Do không biết hàm số cụ thể, ta chỉ biết $f'(x)$, nhưng có thể kết luận giá trị nhỏ nhất không đạt tại $x=0$ vì $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy khẳng định C sai. Cuối cùng, xét $f(2)$ và $f(3)$. Vì $f'(x) > 0$ trên $(1; +\infty)$, hàm số đồng biến trên đoạn $[2;3]$, nên $f(2) < f(3)$, do đó khẳng định D sai. Kết luận: khẳng định A đúng, các khẳng định B, C, D sai. Phương án gây nhiễu nhất là B vì nhầm lẫn số điểm cực trị.