Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$ , biết $F(x) = x^{4} - 2x^{2} + 1$…

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $F\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x$, do đó:

$F'\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)' = f'\left( x \right) - 4x$

$\Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = f'\left( x \right) - 4x \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3}$.

b) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

c) Sai. Theo định nghĩa tích phân: $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

d) Đúng. $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ với x = 0 là nghiệm bội lẻ, do đó f’(x) đổi dấu khi qua x = 0. Vậy hàm số y = f(x) có một điểm cực trị x = 0.